Geometria – Propietats de la Paràbola
Una de les seves propietats la fan molt interessant per a algunes conegudes aplicacions, com són les antenes parabòliques, els rajos electromagnètics que arriben a les antenes, surten desviats amb el mateix angle d’incidència quan arriben a la paràbola, i aquestos rajos van a parar al focus on es concentren, amplificant així el senyal electromagnètic. Els fars dels cotxes s’aprofiten de la mateixa situació, però a l’inrevés; la bombeta s’instal·la al focus d’un reflector en forma de paràbola, de manera que els rajos de llum surten paral·lels entre si i cap endavant. › › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 226 › ›
Geometria – Homotècies en el pla
La homotècia és una transformació geomètrica que manté la forma de la figura, de manera que els costats de la homotècia són proporcionals als de la figura original.
Llisca el cursor (des de valor 0 a 5) per tal d’obtenir una homotècia de raó determinada (els costats tenen aquesta proporció).
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 225 › ›
Una hipèrbola pot ser definida com el lloc geomètric dels punts on el valor absolut de la diferència de les distàncies als dos focus és una constant igual a 2 cops la distància entre els seus dos vèrtexs.
Similar a una paràbola, una hipèrbola és una corba oberta, el que significa que continua indefinidament fins a l’infinit. Consta de dues corbes desconnectades anomenats els seus braços. Els punts en les dues branques que estan més a prop entre si es diuen vèrtexs, i el segment de línia que els connecta es diu eix major. El punt mitjà de l’eix major es coneix com a centre de la hipèrbola. A la mateixa recta de l’eix major hi ha els dos punts focals (focus) de la hipèrbola. La línia a través d’aquests cinc punts és un dels dos eixos principals de la hipèrbola, sent l’altra la bisectriu perpendicular de l’eix major. La hipèrbola té simetria de mirall al voltant dels seus eixos principals, i també és simètrica sota un gir de 180 ° al voltant del seu centre. A grans distàncies del centre, la hipèrbola s’aproxima a dues rectes, les asímptotes, que es creuen en el centre de la hipèrbola.
En alguns problemes apareix una versió simplificada de la hipèrbola, Y = 1/X, què és una hipèrbola equilàtera, en aquest cas els braços estan als quadrants I i III, els eixos de la hipèrbola són les bisectrius dels quadrants (45º), i les asímtotes, són els eixos de cordenades).
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 224 › ›
| Disposem d’una cartolina quadrada de 4 cm de costat amb la qual volem construir una capsa de base quadrada segons la imatge. Quin ha de ser el tall ‘a’ per tal que el volum sigui el màxim possible?
Aquest problema es pot resoldre derivant l’expressió del volum en funció de ‘a’ i igualant a zero, però en aquest cas es fa amb una aplicació de geogebra.
V(a)=(4 – 2a)·(4 – 2a)·a = 4a3 – 16a2 + 16a –> V'(a)= 12a2 – 16a + 16 = 0
a= 2/3 cm –> Vmax=4,74 cm3
|
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 223 › ›
Propietats de la funció exponencial i logarítmica
Funció exponencial es refereix a qualsevol funció del tipus kax, on ‘a’ és qualsevol nombre real positiu:
•La funció només està definida per a valors positius de la base de la potència.
•La funció de base ‘a’ i la seva inversa (1/a) presenten simetria axial vertical.
•Domini : R
•Recorregut : R+
•L’asímptota és l’eix d’abcisses
Té com a funció inversa la Funció Logaritme
•La funció només està definida per a valors positius de la base del logaritme.
•La funció de base ‘a’ i la seva inversa (1/a) presenten simetria axial horitzontal.
•Domini : R+
•Recorregut : R
•L’asímptota és l’eix d’ordenades
El cas particular on la base és el número ‘e’ , també es diu funció exponencial de base ‘e’, és una de les funcions més importants de les matemàtiques. S’escriu com exp(x) o ex, on e val aproximadament 2.71828183 i és la base dels logaritme natural o neperià. |
|
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 222 › ›
| Veiem el cim d’una torre sota un angle de 16,7º, avancem 10 m i aleshores el veiem sota un angle de 31º. Es demana la distància des del punt inicial a la base de la torre i la seva alçada |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 221 › ›
| Troba la superfície del triangle que té per vèrtexs els punts A(0,3) B(4,0) i C (3,4) |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 220 › ›
| Troba les raons trigonomètriques dels angles de 30º i 60º |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 219 › ›
| Troba les raons trigonomètriques de l’angle de 45º |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 218 › ›
| Donat el triangle rectangle de la figura en el qual s’ha representat l’altura sobre la hipotenusa. Trobar els costats i l’altura, i demostrar que, aplicant el teorema de Pitàgores, els triangles que apareixen són tots tres rectangles. [Teorema del catet – Teorema de l’altura] |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 216 › ›
| Demostrar que els triangles que apareixen en dibuixar l’altura sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle són semblants. |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 215 › ›
| Calcula el volum i superfície d’un tronc de piràmide de base quadrada, amb costat de la base inferior 8 cm i costat de la base superior 4 cm. L’altura del tronc és de 5 cm. |
 |
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 214 › ›
| Expressa 6h 17m 12s, en unitats incomplexes: primer en segons, i després en minuts. Com és faria per a obtenir aquesta quantitat de temps en unitats incomplexes en hores? |
|
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 213 › ›
| Expressa 23.232 seg en unitats complexes (hores, minuts i segons) |
|
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 212 › ›
| Comprova si els punts A(-3,-2), B(0,1), C(4,5) estan o no alineats |
|
› › Clica per a veure el vídeo d’ACTIVITAT 211 › ›
|
|
